Số nguyên là gì? Số thực là gì?

Khái niệm số nguyên là gì đang được chia sẻ trong chương trình toán học tại Việt Nam. Đây là khái niệm cơ bản mà bạn học sinh nào cũng phải tìm hiểu. Từ đó bạn sẽ làm những bài tập toán nhanh chóng hơn. Nếu bạn đã học qua kiến thức này hoặc chưa biết đến thì có thể xem bài viết sau. Bài viết sẽ giúp bạn tìm hiểu kỹ hơn về số nguyên và số thực trong toán học.

Số nguyên là gì?

Số nguyên là một tổ hợp gồm số 0, các số tự nhiên hay còn gọi là số nguyên dương cùng cùng số đối của chính nó hay còn gọi là số nguyên âm. Tổ hợp những số nguyên này không có giới hạn và có thể đếm được. Người ta thường ký hiệu tập hợp các số nguyên này là Z.

Số nguyên có những loại nào?

Hiện nay tập hợp các số nguyên được phân ra hai loại. Đó là số nguyên âm và số nguyên dương. Trong đó:

• Các số nguyên dương: Đây là các số nguyên > 0 và có ký hiệu ngắn gọn là Z+
• Các số nguyên âm: Đây là tập hợp những số nguyên < 0 và có ký hiệu ngắn gọn là Z-
• Tập hợp bao gồm những số nguyên dâm hoặc dương ở trên không chứa số 0.

Ta có ví dụ như sau:

• Số Z+ bao gồm: 1, 2, 3, 4,…
• Số Z- bao gồm: -1, -2, -3, -4,…
• Những số như 5, 1, -978, -94 là những số thuộc tập hợp số nguyên.
• Những số như -26 thuộc tập hợp số nguyên, số 0 thuộc tập hợp số nguyên.

Số 0 thuộc tập hợp số nguyên dương hay nguyên âm?

Như đã tìm hiểu ở phần số nguyên là gì ở trên thì chúng ta đã biết số 0 được coi là số nguyên đặc biệt. Vì nó ở chính giữa của tập hợp các số nguyên dương và nguyên âm. Nhưng nó lại không phải số giao giữa 2 tập hợp số nguyên này. Đồng thời số 0 cũng không nằm trong 2 tập hợp số nguyên âm hay nguyên dương.

Khi thể hiện tập hợp số nguyên trên một trục số dạng nằm ngang thì tập hợp Z+ nằm phía bên phải của số 0. Còn tập hợp Z- sẽ nằm ở phía trái của số 0. Các tập hợp này có tính chất vô hạn. Nó được thể hiện trên đường thẳng hoàn toàn không tồn tại điểm mút. Chiều hướng mũi tên của trục số sẽ được biểu diễn từ phía bên trái qua bên phải. Đồng thời nó sẽ quy định theo chiều dương.

Như vậy thì số 0 chính là điểm gốc thuộc trục số trên. Nó nằm ở trung tâm của trục số. Nó dùng để phân cách hai tập hợp số nguyên dương và nguyên âm. Bên cạnh đó, trục số nguyên còn được biểu diễn theo chiều thẳng đứng. Lúc đó thì:

• Chiều dương của mũi tên sẽ hướng lên trên.
• Gốc trên trục số dọc chính là số 0 ở trung tâm của trục số.
• Đơn vị dùng để đo lường độ dài của trục số chính là kích thước của đoạn thẳng dùng để nối từ số 0 với số 1 (số 1 sẽ nằm trên số 0).

Số đối là gì?

Từ việc tìm hiểu số nguyên là gì ở trên thì chúng ta lại phát sinh thêm một khái niệm về số đối. 2 số được coi là đối với nhau khi nó nằm đối xứng nhau qua số 0. Nó cách số 0 các khoảng ngang nhau. Sau đây là vài tính chất của số đối:

• Số đối của 1 số thuộc Z+ chính là 1 số thuộc Z-.
• Số đối của 1 số nguyên Z- là 1 số thuộc Z+.
• Số đối của số 0 là chính nó.

Để viết được số đối của 1 số thuộc Z+ thì bạn hãy đặt dấu trừ trước con số đó. Còn nếu muốn viết số đối của 1 số thuộc Z- thì bạn hãy bỏ dấu trừ ở trước con số đó. Chẳng hạn:

• Số đối của số 1 là số -1
• Số đối của số 2 là số -2
• Số đối của số 3 là số -3…
• Số đối của số 0 chính là số 0.

Khi đó thì chúng ta có thể nhận định là tập số N (số tự nhiên) và tập hợp những số đối của số tự nhiên khi kết hợp lại sẽ tạo ra tập hợp các số nguyên là Z.

Tính chất của tập hợp số nguyên là gì?

Hiện nay tập hợp Z gồm những tính chất như sau:

• Vì bản chất của tập hợp Z là không giới hạn nên nó sẽ không xuất hiện số nguyên âm nào bé nhất hay số nguyên dương nào lớn nhất.
• Chỉ xuất hiện số nguyên âm có giá trị lớn nhất là số -1 và số nguyên dương có giá trị bé nhất là số 1 (cận 0).
• Các số thuộc tập hợp số Z- luôn luôn bé hơn 0 và các số thuộc tập hợp số Z+.
• Tất cả những số thuộc Z+ đều có giá trị lớn hơn 0.
• Tập hợp Z gồm rất nhiều những tập hợp con hữu hạn. Khi xem xét 1 tập hợp con của tập hợp Z ngẫu nhiên thì chúng ta luôn tìm thấy những phần tử lớn nhất và bé nhất.
• Khác với những tập hợp như số thực, số hữu tỉ thì giữa hai số nguyên kề nhau không tồn tại số nguyên nằm ở giữa.

Số thực là gì?

Ngoài việc tìm hiểu số nguyên là gì thì bạn nên tìm hiểu thêm về số thực để so sánh hai tập hợp này. Số thực là 1 tập hợp chứa những số âm, số dương, số vô tỉ, số hữu tỉ và cả số 0. Khái niệm này cơ bản khác với số nguyên bình thường. Số thực thường được biểu diễn dưới dạng những ký hiệu như dấu chấm, ví dụ như -0.5, 3.14, 2.713,…

Khi biết được định nghĩa về số thực thì mọi người sẽ biết được cách để phân biệt nó với tập hợp số nguyên (chỉ chứa số nguyên âm, nguyên dương và 0). Đồng thời bạn cũng biết cách để phân biệt với số hữu tỉ (chứa những phân số, tử số, mẫu số thuộc tập hợp số nguyên). Như vậy, chúng ta có thể thấy số thực là khái niệm nền tảng trong toán học và đang được sử dụng trong đa dạng lĩnh vực.

Trục số thực là gì?

Đây là trục số được vẽ dưới dạng đường thẳng để thể hiện tất cả những số thực trong tập hợp. Trục này thường thể hiện như 1 đường thẳng đứng. Từng điểm trên trục số sẽ ứng với 1 số thực. Nơi khởi đầu của trục sẽ quy định với giá trị là 0. Những số dương được đặt ở bên phải của số 0. Còn những số âm sẽ đặt ở bên trái số 0.

Từng số thực sở hữu 1 vị trí độc nhất trong trục số. Việc này cho phép mọi người thấy được sự liên hệ trong không gian của những số thực. Trục số biểu diễn tập hợp số thực thường được áp dụng trong đa dạng lĩnh vực. Chúng ta thấy ứng dụng nhiều nhất là trong khoa học, toán học. Ngoài ra, số thực còn là nền tảng để phát triển ra nhiều định nghĩa toán học hữu ích như phân số, đại số, hàm số,…

Có mấy dạng số thực?

Khi đã tìm hiểu số nguyên là gì ở trên thì bạn thấy số thực cũng được chia ra làm nhiều dạng và được thể hiện trên trục số. Tập hợp số thực hiện nay gồm những dạng như sau:

• Số nguyên: Số nguyên âm, số nguyên dương, 0.
• Số thập phân: Số được thể hiện với 1 hoặc nhiều số ngay sau dấu chấm dạng thập phân hay những số dạng thập phân có khoảng cách: 3.14, -1.784, 0.5,…
• Số vô hạn dạng thập phân: Đây là những số mà không có chấm dừng và cũng không có số nào được lặp lại ngay trong dãy thập phân. Ví dụ như số Pi = 3.1415,… hoặc số e = 2.718…
• Số vô tỉ và số hữu tỉ: Gồm những số vô tỉ, hữu tỉ như số e = 2.718,… hay số căn bậc 2 = 1.414…

Số thực có những tính chất nào?

Không chỉ nắm rõ số nguyên là gì, việc nắm rõ tính chất của số thực cũng giúp bạn biết cách giải những bài toán nhanh chóng:

Dãy số R có tính chất liên tục

Mọi điểm nằm trên trục số R đều được bao phủ bởi dãy R. Nghĩa là trục này cho phép mọi người theo sát sự liên tục của dãy số R. Quy luật của dãy số R được vận dụng nhiều trong toán học và những vấn đề trong thực tế.

Tập hợp số R có tính khả đoán

Hiện nay nguyên tắc dùng số thực sẽ được xếp theo từng thứ tự. Tức là nó được so sánh, xếp hạng tùy theo yêu cầu của công việc hay học tập. Để thiết lập những hệ thống dùng để đo lường, chuẩn hóa những đơn vị số thì không được thiếu tính chất quan trọng này.

Tính chất phép nhân và phép cộng

Số thực theo quy tắc nhân và theo quy tắc cộng có kết quả của 2 dạng số R khác nhau. Hiểu dễ dàng hơn thì tính chất này có nghĩa là với phép nhân hay phép cộng áp dụng cho những số thực thì nó sẽ tạo ra các hệ số.

Tính chất lũy thừa và phép chia

Khi dùng số thực thì mọi người phải chú ý tính chất phép chia (loại trừ trường hợp chia cho số 0). Bên cạnh đó, tính chất lũy thừa cũng gồm quy tắc nhân và cộng nên mọi người cần lưu ý.

Cách phân biệt số thực và số nguyên là gì?

Sau đây là bảng so sánh số nguyên và số thực để bạn hiểu hai tập hợp này:

Ký hiệu là Z.

Ký hiệu là R.

• Trong tập Z không tồn tại số nguyên âm bé nhất hay số nguyên dương cao nhất.
• Trong tập Z có số nguyên dương bé nhất là số 1 và số nguyên âm cao nhất là số -1.
• Trong tập hợp con hữu hạn thuộc Z thì luôn tồn tại phần tử giá trị lớn nhất và bé nhất.
• Giữa hai số nguyên kề nhau không có số nguyên nào ở giữa.

• Số R # 0 ngẫu nhiên là số âm hoặc số dương.
• Tích và tổng của hai số R không âm có kết quả là số R không âm.
• Trong tập hợp các số đếm được ngẫu nhiên thì số thực luôn nhiều hơn.
• Có 1 hệ thống tập con vô hạn gồm số tính được của các số R là số nguyên, số hữu tỉ, số tính được, đại số. Những số này có phần bù là số vô tỉ, số siêu việt, số không đếm được, đây đều là những tập số vô hạn và không tính được.
• Số thực dùng để hiển thị kết quả khi đo lường những đại lượng một cách liên tục.

Như vậy mọi người đã biết được số nguyên là gì và số thực là gì qua bài viết trên. Bên cạnh đó, mọi người đã biết cách phân biệt số nguyên với số thực để không nhầm lẫn giữa hai tập hợp số này. Đây là kiến thức quan trọng mà các bạn học sinh nhất định phải nắm nếu muốn học toán tốt hơn.

Tham khảo bài viết liên quan:

• Công thức tính nhanh thể tích khối chóp - Tính toán dễ dàng và hiệu quả
• Công thức cách tính diện tích và đường cao tam giác vuông